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雅各布·白努利

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雅各布·白努利

雅各布·白努利（德語：Jakob I. Bernoulli，1654年12月27日－1705年8月16日）白努利家族代表人物之一，數學家。他是最早使用「積分」這個術語的人，也是較早使用極坐標系的數學家之一。他研究了懸鏈線，還確定了等時曲線的方程式。機率論中的白努利試驗與大數定理也是他提出來的。

[编辑] 外部連結

MacTutor數學史檔案中的傳記

白努利定律

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白努利定律是流體力學中的一個定律，由流體物理學家白努利於1738年出版他的理論《Hydrodynamica》，描述流體沿著一條穩定、非粘滯、不可壓縮的流線移動行為。

[编辑] 物理量及定律

[编辑] 原表達形式

$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \mbox{constant}.$

$v=\;$ 流動速度

$g=\;$ 地心加速度(地球)

$h=\;$ 流體處於的高度(從某參考點計)

$p=\;$ 流體所受的壓強

$\rho=\;$ 流體的密度

$\mbox{constant}=\;$ 常數

[编辑] 定理假設(Assumptions)

使用白努利定律必須符合以下假設，方可使用；如沒完全符合以下假設，所求的的解也僅是近似值。

定常流(或稱穩定流，Steady flow)：在流動系統中，流體在任何一點之性質不隨時間改變
不可壓縮流(Incompressible flow): 密度為常數，在流體為氣體適用於馬赫數(M)<0.3
無摩擦流(Frictionsless flow): 摩擦效應可忽略，忽略黏滯性效應
流體沿著流線流動(Flow along a streamline):流體元素(element)沿著流線而流動，流線間彼此是不相交的

[编辑] 推論過程

考慮一符合上述假設的流體，如圖所示：

流體因受力所得的能量：

$F_{1} s_{1}-F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t.\;$

流體因重力做功所損失的能量：

$m g h_1-m g h_2 = \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 -\rho g A_2 v_2 \Delta t h_2.\;$

流體所得的動能可以改寫為：

$\frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 - \frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2$

根據能量守恆定律，流體因受力所得的能量＋流體因重力做功所損失的能量＝流體所得的動能。

$p_1 A_1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 - \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 = \frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 - \frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2$

$\frac{ \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2}{2} + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 + p_1 A_1 v_1 \Delta t = \frac{ \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2}{2} + \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 + p_2 A_2 v_2 \Delta t.$

由連續方程式可知：

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = \mbox{const}.$

令 $\mbox{const}.=\Delta V \;$

從等式兩邊除以 $\Delta t \;$ 及 $\Delta V \;$ 可得：

$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \mbox{const}.$

[编辑] 特例：托里切利定律

當液體因受到地心吸力的作用而流出時，其速率等於 $\sqrt{2gh}$ ，其中 $g$ 為重力加速度， $h$ 為開口的中心和液體最高面的距離。這個速率剛好等於液體從離地 $h$ 的地方自由下落，著地前的速率（假設沒有空氣阻力）。

[编辑] 可壓縮流體的白努利定律

白努利從觀察液體的行為中推導出白努利方程式，但他的方程式是只能應用在不可壓縮的流體還有雖然可壓縮但流速非常慢的流體(也許可以到1/3的聲速)。利用基本的物理原理可以發展出類似的方程式以適用於可壓縮的流體。以下有幾個類似伯努力定律的方程式應用在不同領域，它們只有用基本的物理定律像是牛頓定律和熱力學第一定律。

[编辑] 可壓縮流體之流體力學

對於可壓縮的流體，在保守力的作用之下，所得到的守恆式

$\frac {v^2}{2}+ \int_{p_1}^p \frac {d\tilde{p}}{\rho(\tilde{p})}\ + \Psi = \text{constant}$ (流線型下的守恆)

其中:

p 壓力

ρ 密度

v 流速

Ψ 保守力場下的位勢，通常指重力位勢

在工程領域，在海拔比較高的地方，其壓力會比地表來的小，而且流體流動的時間通常是相當的小，如同絕熱系統般。在這種情形下，上述的方程式即

$\frac {v^2}{2}+ gz+\left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho} = \text{constant}$ (流線型下的守恆)

其中:上述加入的為

γ 流體的熱力常數

g 重力加速度

z 離參考平面的高度

在可壓縮流體可以應用的地方，因為高度變化與其他變因相比小的很多，故gz項可以省略，所以較常用的方程式為

$\frac {v^2}{2}+\left( \frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho} = \left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p_0}{\rho_0}$

其中:

p₀總壓力

ρ₀總密度

[编辑] 可壓縮流動的熱力學

另一個有用的公式，適合使用在熱力學的是：

${v^2 \over 2} + \Psi + w =\text{constant}.$

這裡w是單位質量的焓，也就是通常會被寫成h

請注意 $w = \epsilon + \frac{p}{\rho}$ 其中ε為熱力學單位質量的能量，也稱為specific internal energy。公式右側的常數通常被稱為伯努力常數，常被寫為b。當在絕熱非黏滯性的流動，沒有能量的流進或流出時，b在任何曲線都是常數。當Ψ變化可以忽略，一個非常有用的形式的方程式是: